On semistable vector bundles over curves

Let X be a geometrically irreducible smooth projective curve defined over a field k, and let E be a vector bundle on X. Then E is semistable if and only if there is a vector bundle F on X such that Hi(X,F⊗E)=0 for i=0,1. We give an explicit bound for the rank of F. The proof uses a result of Popa for the case where k is algebraically closed. To cite this article: I. Biswas et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméSoit X une courbe projective lisse géométriquement irréductible définie sur un corps k, et soit E un fibré vectoriel sur X. E est semi-stable si et seulement s'il y a un fibré vectoriel F sur X tel que Hi(X,F⊗E)=0 pour i=0,1. Nous donnons une borne explicite pour le rang de F. La preuve utilise un résultat de Popa pour le cas où k est algébriquement clos. Pour citer cet article : I. Biswas et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).