Probability distributions arising from nested Gaussians

We consider a random sample X1,…,Xn of size n⩾1 from an Gaussian law. Then, conditionally on each , we define a new random sample Xi,1,…,Xi,n from the normal distribution ( is notation introduced for convenience). Assuming that the so obtained n new random samples are conditionally independent, we get a second step randomly generated set of points. The question is to investigate the properties of this set. We give a theorem precising the limiting density obtained when n approaches infinity, and we generalize this theorem by studying what occurs when repeating this process until, conditionally on each , we get new random samples , from the normal distribution. To cite this article: S. El Otmani, A. Maul, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméOn considère un échantillon aléatoire X1,…,Xn suivant la loi normale , de taille n⩾1. Conditionnellement à chaque , on définit un nouvel échantillon aléatoire Xi,1,…,Xi,n suivant la loi normale ( est une notation introduite par commodité). Sous l'hypothèse que les n nouveaux échantillons aléatoires ainsi obtenus sont conditionnellement indépendants, on obtient un ensemble de points aléatoires de seconde génération. La question est d'étudier les propriétés de cet ensemble. On donne un théorème précisant la densité limite obtenue lorsque n tend vers l'infini, et on généralise ce théorème en étudiant ce qui se produit lorsque que l'on répète cette procédure jusqu'à obtenir, conditionnellement à chaque , de nouveaux échantillons aléatoires suivant la loi normale . Pour citer cet article : S. El Otmani, A. Maul, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).