Nombre de Lelong directionnel d'un courant positif plurisousharmonique

RésuméSoit T un courant positif psh de bidegré (k,k) dans un voisinage Ω de 0 dans CN=Cn×Cm (n=N−m⩾k), soient L={0}×Cm et B un borélien dans L tel que B⊂⊂Ω. On note (z,t)∈Cn×Cm et on considère deux fonctions de classe C2 positives psh et semi-exhaustives sur Ω, (z,t)↦φ(z) et (z,t)↦v(t) telles que logφ soit également psh sur l'ouvert {φ>0}. Nous montrons que T admet un nombre de Lelong directionnel relativement à φ et v. Si m=0 et φ(z)=2|z|, on retrouve le nombre de Lelong classique au point 0. Si m=0 et T est un courant positif d-fermé, on retrouve celui introduit par J.-P. Demailly. Si φ(z)=2|z| et v(t)=2|t|, on retrouve celui introduit par Alessandrini–Bassanelli. Pour cela, nous démontrons une formule de type Lelong–Jensen. Nous démontrons enfin un théorème sur l'existence d'une fonction f psh positive sur un voisinage ouvert de 0 dans L tel que ce nombre de Lelong de T soit donné par f. Ce théorème généralise un résultat antérieur dû à Alessandrini–Bassanelli pour φ(z)=2|z| et v(t)=2|t|. Pour citer cet article : M. Toujani, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

Let T be a positive psh current of bidegree (k,k) on a neighborhood Ω of 0 in CN=Cn×Cm (n=N−m⩾k), let L={0}×Cm and B a Borel subset of L such that B⊂⊂Ω. We denote (z,t)∈Cn×Cm and consider two C2 positive semi-exhaustive psh functions on Ω, (z,t)↦φ(z) et (z,t)↦v(t) such that logφ is also psh on the open set {φ>0}. We prove here that T admits a directional Lelong number along L with respect to the functions φ and v. If m=0 and φ(z)=2|z|, we get the classical Lelong number of T at 0. If m=0 and T is a d-closed positive current, we get the number introduced by J.-P. Demailly. If φ(z)=2|z| and v(t)=2|t|, we get the number introduced by Alessandrini–Bassanelli. The method first consists in proving a Lelong–Jensen type formula. Finally we prove a theorem on the existence of a positive psh function f on L such that the Lelong number of T is given by f. This theorem generalizes a result proved by Alessandrini–Bassanelli with φ(z)=2|z| and v(t)=2|t|. To cite this article: M. Toujani, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).