On the Kostant conjecture for Clifford algebras

Let g be a complex simple Lie algebra, and h⊂g be a Cartan subalgebra. In the end of 1990s, B. Kostant defined two filtrations on h, one using the Clifford algebras and the odd analogue of the Harish-Chandra projection hcodd:Cl(g)→Cl(h), and the other one using the canonical isomorphism (here is the Cartan subalgebra in the simple Lie algebra corresponding to the dual root system) and the adjoint action of the principal sl2-triple. Kostant conjectured that the two filtrations coincide.Recently, A. Joseph proved that the second Kostant filtration coincides with the filtration on h induced by the generalized Harish-Chandra projection g(Ug⊗g)→Sh⊗h and the evaluation at ρ∈h⁎. In this Note, we prove that Josephʼs result is equivalent to the Kostant Conjecture. We also show that the standard Harish-Chandra projection Ug→Sh composed with evaluation at ρ induces the same filtration on h.

RésuméSoient g une algèbre de Lie simple complexe, et h⊂g une sous-algèbre de Cartan. Vers la fin des années 1990, B. Kostant définit deux filtrations sur h ; la première utilise les algèbres de Clifford et lʼanalogue impair de la projection de Harish-Chandra hcodd:Cl(g)→Cl(h), la seconde lʼisomorphisme canonique (ici, est la sous-algèbre de Cartan dans lʼalgèbre de Lie simple correspondant au système de racines dual) et lʼaction adjointe du sl2-triplet principal. Kostant conjectura que ces deux filtrations coïncident.Récemment, A. Joseph a démontré que la seconde filtration de Kostant coïncidait avec la filtration sur h induite par la projection de Harish-Chandra généralisée g(Ug⊗g)→Sh⊗h et lʼévaluation au point ρ∈h⁎. Dans cette Note, nous montrons que le résultat de Joseph est équivalent à la conjecture de Kostant. Nous obtenons de plus que la projection de Harish-Chandra standard Ug→Sh composée avec lʼévaluation au point ρ induit la même filtration sur h.