Simultaneous observability and stabilization of some uncoupled wave equations

We consider uncoupled wave equations with different speed of propagation in a bounded domain. Using a combination of the Bardos–Lebeau–Rauch observability result for a single wave equation and a new unique continuation result for uncoupled wave equations, we prove an observability estimate for that system. Applying Lionsʼ Hilbert uniqueness method (HUM), one may derive simultaneous exact controllability results for the uncoupled system; the controls being locally distributed, with their supports satisfying the geometric control condition of Bardos, Lebeau and Rauch. Afterwards, we discuss the related simultaneous stabilization problem; this latter problem is solved by a combination of the new observability inequality, and a result of Haraux establishing an equivalence between observability and stabilization for second order evolution equations with bounded damping operators. Our observability and stabilization results generalize to higher space dimensions some earlier results of Haraux established in the one-dimensional setting.

RésuméNous considérons un système dʼéquations dʼondes découplées ayant des vitesses de propagation différentes dans un domaine borné. Utilisant une combinaison de lʼinégalité dʼobservabilité de Bardos–Lebeau–Rauch pour une seule équation dʼondes ainsi quʼun nouveau résultat de continuation unique pour un système dʼondes découplées, nous démontrons une inégalité dʼobservabilité pour ce système. Une application de la méthode dʼunicité de Hilbert de Lions (HUM), conduit, avec lʼaide de cette inégalité à des résultats de contrôlabilité exacte simultanée ; les contrôles étant localement distribués dans le domaine en question, et leurs supports satisfaisant la propriété de contrôle géométrique de Bardos–Lebeau–Rauch. Par la suite, nous étudions le problème de stabilisation simultanée associé ; en particulier, nous démontrons la décroissance exponentielle de lʼénergie avec lʼaide de la nouvelle inégalité dʼobservabilité ainsi quʼun résultat de Haraux sur lʼéquivalence entre lʼobservabilité et la stabilisation dʼéquations dʼévolution du second ordre en temps où lʼopérateur décrivant lʼamortissement est borné. Les résultats établis dans cette note généralisent à toutes dimensions dʼespace certains résultas antérieurs de Haraux démontrés dans le cadre unidimensionel.