A natural hermitian metric associated with local universal families of compact Kähler manifolds with zero first Chern class

Let π:X→S be a local universal family of compact Kähler manifolds with zero first Chern class over a smooth base S. The complexified Kähler cones of each manifold of the family form a holomorphic fiber bundle K→S. We show that there exists a natural hermitian metric ω on the fiber product X×SK. We then discuss the example of elliptic curves in some detail.

RésuméSoit π:X→S une famille universelle locale de variétés compactes Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle sur une base lisse S. Les cônes de Kähler complexifiés de chaque variété de la famille forment une fibration holomorphe K→S. Nous montrons quʼil existe une métrique hermitienne naturelle sur le produit fibré X×SK. Pour finir, nous discutons lʼexemple des courbes elliptiques.