An intrinsic approach and a notion of polyconvexity for nonlinearly elastic plates

Let ω be a domain in R2. The classical approach to the Neumann problem for a nonlinearly elastic plate consists in seeking a displacement field η=(ηi)∈V(ω)=H1(ω)×H1(ω)×H2(ω) that minimizes a non-quadratic functional over V(ω). We show that this problem can be recast as a minimization problem in terms of the new unknowns and Fαβ=∂αβη3∈L2(ω) and that this problem has a solution in a manifold of symmetric matrices E=(Eαβ) and F=(Fαβ) whose components Eαβ∈L2(ω) and Fαβ∈L2(ω) satisfy nonlinear compatibility conditions of Saint-Venant type. We also show that such an “intrinsic approach” naturally leads to a new definition of polyconvexity.

RésuméSoit ω un domaine de R2. Lʼapproche classique du problème de Neumann pour une plaque non linéairement élastique consiste à chercher un champ de déplacements η=(ηi)∈V(ω)=H1(ω)×H1(ω)×H2(ω) qui minimise une fonctionnelle non quadratique sur V(ω). Nous montrons que ce problème peut être ré-écrit comme un problème de minimisation en termes des nouvelles inconnues et Fαβ=∂αβη3∈L2(ω) et que ce problème a une solution dans une variété de matrices symétriques E=(Eαβ) et F=(Fαβ) dont les composantes Eαβ∈L2(ω) et Fαβ∈L2(ω) satisfont des conditions non linéaires de compatibilité du type de Saint-Venant. Nous montrons également quʼune telle « approche intrinsèque » conduit naturellement à une nouvelle définition de polyconvexité.