Une conduite cylindrique n'est pas optimale pour minimiser l'énergie dissipée par un fluide

RésuméNous considérons un écoulement de fluide incompressible dans un tuyau cylindrique tri-dimensionnel, régi par les équations de Navier–Stokes, avec des conditions aux limites classiques sur les parois du cylindre. Nous nous posons la question suivante : le cylindre est-il la forme optimale pour le critère « énergie dissipée par le fluide ». Nous répondons par la négative, en explicitant la condition d'optimalité du premier ordre, à l'aide de l'état adjoint, et en montrant qu'il n'est pas possible que l'état adjoint soit solution du système surdéterminé ainsi obtenu. Pour citer cet article : A. Henrot, Y. Privat, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

We consider an incompressible fluid in a three-dimensional cylindrical pipe, following the Navier–Stokes system with classical boundary conditions on the boundary of the cylinder. We are interested in the following question: is the cylinder the optimal shape for the criterion “energy dissipated by the fluid”? We prove that it is not the case. For that purpose, we explicit the first order optimality condition, thanks to adjoint state and we prove that it is impossible that the adjoint state be a solution of this over-determined system. To cite this article: A. Henrot, Y. Privat, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).