Explicit reconstruction of a displacement field on a surface by means of its linearized change of metric and change of curvature tensors

Let ω be a simply-connected open subset in R2 and let θ:ω→R3 be a smooth immersion. If two symmetric matrix fields (γαβ) and (ραβ) of order two satisfy appropriate compatibility relations in ω, then (γαβ) and (ραβ) are the linearized change of metric and change of curvature tensor fields corresponding to a displacement vector field η of the surface θ(ω).We show here that, when the fields (γαβ) and (ραβ) are smooth, the displacement vector η(y) at any point θ(y),y∈ω, of the surface θ(ω) can be explicitly computed by means of a “Cesàro–Volterra path integral formula on a surface”, i.e., a path integral inside ω with endpoint y, and whose integrand is an explicit function of the functions γαβ and ραβ and their covariant derivatives. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméSoit ω un ouvert simplement connexe de R2 et soit θ:ω→R2 une immersion régulière. Si deux champs (γαβ) et (ραβ) de matrices symétriques d'ordre deux satisfont des conditions de compatibilité appropriées dans ω, alors (γαβ) et (ραβ) sont les champs de tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure associés à un champ η de déplacements de la surface θ(ω).On montre ici que, si les champs (γαβ) et (ραβ) sont réguliers, le vecteur déplacement η(y) en tout point θ(y),y∈ω, de la surface θ(ω) peut être calculé explicitement au moyen d'une “intégrale de Cesàro–Volterra” le long d'un chemin dans ω d'extrémité y, et dont l'intégrande est une fonction explicite des fonctions γαβ et ραβ et de leurs dérivées covariantes. Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).