Rotation fields and the fundamental theorem of Riemannian geometry in R3R3

Let Ω   be a simply-connected open subset of R3R3. We show in this Note that, if a smooth enough field U of symmetric and positive-definite matrices of order three satisfies the compatibility relation (due to C. Vallée)CURLΛ+COFΛ=0in Ω, where the matrix field Λ is defined in terms of the field U byΛ=1detU{U(CURLU)TU−12(tr[U(CURLU)T])U}, then there exists, typically in spaces such as Wloc2,∞(Ω;R3) or C2(Ω;R3)C2(Ω;R3), an immersion Θ:Ω→R3 such that U2=T∇Θ∇ΘU2=∇ΘT∇Θ in Ω  . In this approach, one directly seeks the polar factorization ∇Θ=RU∇Θ=RU of the gradient of the unknown immersion Θ in terms of a rotation R and a pure stretch U. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméR3R3. Soit Ω   un ouvert simplement connexe de R3R3. On montre dans cette Note que, si un champ suffisamment régulier U de matrices symétriques définies positives d'ordre trois satisfait la relation de compatibilité (due à C. Vallée)CURLΛ+COFΛ=0dansΩ, où le champ Λ de matrices est défini en fonction du champ U parΛ=1detU{U(CURLU)TU−12(tr[U(CURLU)T])U}, alors il existe, typiquement dans des espaces tels que Wloc2,∞(Ω;R3) ou C2(Ω;R3)C2(Ω;R3), une immersion Θ:Ω→R3 telle que U2=T∇Θ∇ΘU2=∇ΘT∇Θ in Ω  . Dans cette approche, on cherche à identifier directement la factorisation polaire ∇Θ=RU∇Θ=RU du gradient de l'immersion inconnue Θ en une rotation R et une extension pure U=C1/2U=C1/2. Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).