Squareful points of bounded height

Let n⩾5. In this Note, we explain how to determine the asymptotic behaviour of the size of the set of rational points (where a0,…,an∈Z and gcd(a0,…,an)=1) of bounded height maxi=0,…,n|ai|⩽B on the hyperplane such that ai is squareful for each i∈{0,…,n} as B goes to infinity. (An integer a is called squareful if the exponent of each prime divisor of a is at least two.) The main tool we will use, is the (classical) Hardy–Littlewood circle method.

RésuméSoit n⩾5. Dans cette Note, nous expliquerons comment on peut déterminer le comportement asymptotique du nombre de points rationnels (avec a0,…,an∈Z et pgcd(a0,…,an)=1) de hauteur bornée maxi=0,…,n|ai|⩽B sur lʼhyperplan tels que ai est un entier puissant pour chaque i∈{0,…,n}, lorsque B tend vers lʼinfini. (Un entier a est appelé puissant si pour chaque nombre premier p divisant a, on a que p2 aussi divise a.) La méthode principale quʼon utilise ici est la méthode du cercle de Hardy–Littlewood (classique).