Stokes equations and elliptic systems with nonstandard boundary conditions

In a three-dimensional bounded possibly multiply-connected domain of class C1,1, we consider the stationary Stokes equations with nonstandard boundary conditions of the form u⋅n=g and or u×n=g×n and π=π0 on the boundary Γ. We prove the existence and uniqueness of weak, strong and very weak solutions corresponding to each boundary condition in Lp theory. Our proofs are based on obtaining Inf–Sup conditions that play a fundamental role. And finally, we give two Helmholtz decompositions that consist of two kinds of boundary conditions such as u⋅n and u×n on Γ.

RésuméDans un ouvert borné tridimensionnel, éventuellement multiplement connexe de classe C1,1, nous considérons les équations stationnaires de Stokes avec des conditions aux limites de la forme u⋅n=g et ou u×n=g×n et π=π0 sur le bord Γ. Nous prouvons lʼexistence et lʼunicité des solutions faibles, fortes et très faibles en théorie Lp. Nos preuves sont basées sur lʼobtention de conditions Inf–Sup qui jouent un rôle fondamental. Finalement, on donne deux décompositions dʼHelmholtz qui tiennent compte des deux types de conditions aux limites u⋅n et u×n sur Γ.