Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier

RésuméSoit S(g,1) une surface connexe, compacte, orientée, de genre g, avec une composante de bord et Mod(g,1) son groupe modulaire. Soit p un entier, ou bien égal à 0, ou bien premier ⩾2. On construit une p-filtration centrale de Mod(g,1), notée , généralisant la filtration de Johnson (qui correspond à p=0) telle que M(1,p)=Mod(g,1), M(k,p)/M(k+1,p) (k⩾2) est un Z/pZ-espace vectoriel de dimension finie et M(2,p) est le groupe de Torelli modulo p (e.g. le sous-groupe de Mod(g,1) des homéomorphismes induisant l'identité sur H1(S(g,1);Z/pZ)). On annonce les résultats suivants : le groupe de Torelli (modp) est engendré par le groupe de Torelli usuel et les puissances p-ième des twists de Dehn. On détermine ensuite l'abélianisé du groupe de Torelli modp (à 2-torsion finie pres). Toute sphère d'homologie rationnelle Σ de dimension trois s'obtient en recollant deux corps d'anses par un élément du groupe de Torelli (modp), où p est un entier premier ⩾3 divisant (n−1), n étant le cardinal de H1(Σ;Z). On propose enfin un invariant conjectural de ces sphères d'homologie rationnelle. Pour citer cet article : B. Perron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Let S(g,1) be a connected, compact, oriented surface of genus g, with one boundary component and Mod(g,1) its mapping class group. Let p be an integer, either equal to 0, or a prime ⩾2. We construct a central p-filtration of Mod(g,1), denoted , generalizing the Johnson filtration (which corresponds to p=0) such that M(1,g)=Mod(g,1), M(k,p)M(k+1,p) (k⩾2) is a finite dimensional Z/pZ-vector space and M(2,p) is the Torelli group (modp) (e.g. the subgroup of Mod(g,1) of homeomorphisms which induce identity on H1(S(g,1); Z/pZ)). We announce the following results: the Torelli group (modp) is generated by the usual Torelli group and the p-th powers of all Dehn twists. We compute the abelianization of the Torelli group (modp), up to finite 2-torsion. Any Q-homology sphere Σ3 is obtained by gluing two handlebodies by an element of the Torelli group (modp), for any prime p⩾3 dividing (n−1), where n is the cardinal of H1(Σ3;Z). Finally we propose a conjectural invariant for these Q-homology spheres. To cite this article: B. Perron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).