Sur une conjecture de Dehornoy

RésuméSoit Mn la matrice n!×n!, indexée par les permutations de Sn, et définie par Mn(σ,τ)=1 si toute descente de τ−1 est aussi une descente de σ, et Mn(σ,τ)=0 sinon. Nous démontrons le résultat suivant, conjecturé par P. Dehornoy : soit Pn(x) le polynôme caractéristique de Mn. Alors, Pn(x) divise Pn+1(x) dans Z[x]. Pour citer cet article : F. Hivert et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Let Mn be the n!×n! matrix indexed by permutations of Sn, defined by Mn(σ,τ)=1 if every descent of τ−1 is also a descent of σ, and Mn(σ,τ)=0 otherwise. We prove the following result, conjectured by P. Dehornoy: let Pn(x) be the characteristic polynomial of Mn. Then, Pn(x) divides Pn+1(x) in Z[x]. To cite this article: F. Hivert et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).