Sur la régularité des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine périodique de faible épaisseur

RésuméDans cette Note, nous étudions la régularité globale des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine de faible épaisseur Ω=[0,L1]×[0,L2]×[0,ϵ] avec des conditions aux limites périodiques. Nous montrons que si ‖∇u0‖L2(Ω)⩽C(L1,L2,δ)/ϵ1/2−δ, où u0 est la donnée initiale et δ>0 est arbitraire, alors il existe une solution régulière globale avec la donnée initiale u0. Cette condition améliore les résultats existants, en particulier la moyenne de la vitesse initiale dans la direction de l'épaisseur faible n'est pas supposée petite quand l'épaisseur est petite. Pour citer cet article : I. Kukavica, M. Ziane, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

In this Note, we study the global regularity of solutions of the Navier–Stokes equations in a thin domain Ω=[0,L1]×[0,L2]×[0,ϵ] with periodic boundary conditions. We prove that if ‖∇u0‖L2(Ω)⩽C(L1,L2,δ)/ϵ1/2−δ where u0 is the initial datum and δ>0 is arbitrary, then there exists a unique global smooth solution with the initial datum u0. This condition improves on the existing results, in particular, the average in the thin direction of the initial velocity is not necessarily small when the thickness is small. To cite this article: I. Kukavica, M. Ziane, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).