Small codimension smooth subvarieties in even-dimensional homogeneous spaces with Picard group Z

We investigate a method proposed by E. Arrondo and J. Caravantes to study the Picard group of a smooth low-codimensional subvariety X in a variety Y when Y is homogeneous. We prove that this method is strongly related to the signature σY of the Poincaré pairing on the middle cohomology of Y. We give under some topological assumptions a bound on the rank of Picard group Pic(X) in terms of σY and remove these assumptions for Grassmannians to recover the main result of E. Arrondo and J. Caravantes. To cite this article: N. Perrin, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméE. Arrondo et J. Caravantes ont proposé une méthode pour étudier le groupe de Picard Pic(X) d'une sous-variété lisse X d'une variété Y. Dans le cas où Y est homogène, nous montrons que cette méthode est intimement liée à la signature σY de l'accouplement de Poincaré sur la cohomologie de dimension moitié de Y. Nous donnons, sous certaines hypothèses topologiques, une borne sur le rang de Pic(X) en fonction de σY. Dans le cas des grassmanniennes, ces conditions topologiques sont satisfaites et nous obtenons une généralisation des résultats de E. Arrondo et J. Caravantes. Pour citer cet article : N. Perrin, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).