Very nilpotent basis and n-tuples in Borel subalgebras

A (vector space) basis B of a Lie algebra is said to be very nilpotent if all the iterated brackets of elements of B are nilpotent. In this Note, we prove a refinement of Engel's Theorem. We show that a Lie algebra has a very nilpotent basis if and only if it is a nilpotent Lie algebra. When g is a semisimple Lie algebra, this allows us to define an ideal of SG(⁎(gn)) whose associated algebraic set in gn is the set of n-tuples lying in a same Borel subalgebra.

RésuméUne base (d'espace vectoriel) B d'une algèbre de Lie est dite fortement nilpotente si tous les crochets itérés des éléments de B sont nilpotents. Dans cette Note, on démontre une version améliorée du théorème d'Engel. On montre qu'une algèbre de Lie admet une base fortement nilpotente si et seulement si c'est une algèbre nilpotente. Lorsque g est une algèbre de Lie semi-simple, ceci nous permet de définir un idéal de SG(⁎(gn)) dont l'ensemble algèbrique associé dans gn est l'ensemble des n-uplets vivants dans une même sous-algèbre de Borel.