The div–curl lemma for sequences whose divergence and curl are compact in W−1,1

It is shown that uk⋅vk converges weakly to u⋅v if uk⇀u weakly in Lp and vk⇀v weakly in Lq with , 1/p+1/q=1, under the additional assumptions that the sequences and are compact in the dual space of and that uk⋅vk is equi-integrable. The main point is that we only require equi-integrability of the scalar product uk⋅vk and not of the individual sequences.

RésuméOn montre que uk⋅vk converge faiblement vers u⋅v si uk⇀u faiblement dans Lp, vk⇀v faiblement dans Lq, les séquences et sont compactes dans l'espace dual de et uk⋅vk est équi-intégrable, pour p,q∈(1,∞), 1/p+1/q=1. En effet, on n'utilise que l'équi-intégrabilité du produit scalaire uk⋅vk, et non pas celle de chacune des suites.