Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space B using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case B=R by the second author and P. Vallois. To a real continuous process X we associate the Banach-valued process X(⋅), called window process, which describes the evolution of X taking into account a memory τ>0. The natural state space for X(⋅) is the Banach space of continuous functions on [−τ,0]. If X is a real finite quadratic variation process, an appropriated Itô formula is presented, from which we derive a generalized Clark–Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite-dimensional PDE.

RésuméNous présentons un cadre adéquat pour le concept de variation quadratique finie lorsque le processus de référence est à valeurs dans un espace de Banach séparable B. Le langage utilisé est celui de l'intégrale via régularisations introduit dans le cas réel par le second auteur et P. Vallois. À un processus réel continu X, nous associons le processus X(⋅), appelé processus fenêtre, qui à l'instant t, garde en mémoire le passé jusqu'à t−τ. L'espace naturel d'évolution pour X(⋅) est l'espace de Banach B des fonctions continues définies sur [−τ,0]. Si X est un processus réel à variation quadratique finie, nous énonçons une formule d'Itô appropriée de laquelle nous déduisons une formule de Clark–Ocone relative à des non-semimartingales réelles ayant la même variation quadratique que le mouvement brownien. La représentation est basée sur des solutions d'une EDP infini-dimensionnelle.