Long time existence problems for semilinear Klein–Gordon equations

We study a problem of almost global existence for solutions of semilinear Klein–Gordon equations with small weakly decaying Cauchy data. Our work concerns nonlinearities P(u,∂tu,∇u) which are quadratic in (∂tu,∇u) and do not have any other special structure. We prove that the solution exists over an interval of time exponential in ε−2/3, where ε is the size in Hs of the Cauchy data. The main difficulty is to construct, using suitable local cut-offs, the function spaces in which the nonlinearities verify the necessary estimates for the proof of a contraction property. To cite this article: L. Benoaga, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméNotre travail est consacré à un problème d'existence presque globale pour des solutions d'équations de Klein–Gordon semi-linéaire à données petites faiblement décroissantes. Nous abordons le cas de non-linéarités P(u,∂tu,∇u) quadratiques en (∂tu,∇u), et ne vérifiant aucune autre condition de structure particulière, en dimension grande d⩾4. Nous montrons que le problème considéré admet des solutions définies sur un intervalle de temps exponentiel en ε−2/3, où ε désigne la taille dans Hs des données de Cauchy. Pour citer cet article : L. Benoaga, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).