Nonlinear Schrödinger equations with potentials vanishing at infinity

In this Note, we deal with stationary nonlinear Schrödinger equations of the form−ε2Δu+V(x)u=K(x)up,x∈RN, where V,K>0V,K>0 and p>1p>1 is subcritical. We allow the potential V to vanish at infinity and the competing function K to be unbounded. In this framework, positive ground states may not exist. We prove the existence of at least one positive bound state solution in the semi-classical limit  , i.e. for ε∼0ε∼0. We also investigate the qualitative properties of the solution as ε→0ε→0. To cite this article: D. Bonheure, J. Van Schaftingen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméDans cette Note, nous considérons des équations de Schrödinger non linéaires stationnaires du type−ε2Δu+V(x)u=K(x)up,x∈RN, où V,K>0V,K>0 et p>1p>1 est sous-critique. Nous considérons un potentiel V qui s'annule éventuellement à l'infini et une fonction de compétition K   qui pourrait ne pas être bornée. Dans ce cas, l'existence d'une solution positive d'énergie minimale n'est pas assurée. Nous démontrons l'existence d'au moins une solution positive dans la limite semi-classique, c'est-à-dire pour ε∼0ε∼0. Nous étudions également les propriétés qualitatives de cette solution lorsque ε→0ε→0. Pour citer cet article : D. Bonheure, J. Van Schaftingen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).