Multiplicity of complex hypersurface singularities, Rouché satellites and Zariski's problem ⁎

Let be reduced germs of holomorphic functions. We show that f and g have the same multiplicity at 0, if and only if, there exist reduced germs f′ and g′ analytically equivalent to f and g, respectively, such that f′ and g′ satisfy a Rouché type inequality with respect to a generic ‘small’ circle around 0. As an application, we give a reformulation of Zariski's multiplicity question and a partial positive answer to it. To cite this article: C. Eyral, E. Gasparim, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

RésuméSoient des germes de fonctions holomorphes réduits. Nous montrons que f et g ont la même multiplicité en 0 si et seulement s'il existe des germes réduits f′ et g′ analytiquement équivalents à f et g, respectivement, tels que f′ et g′ satisfassent une inégalité du type de Rouché par rapport à un ‘petit’ cercle générique autour de 0. Comme application, nous donnons une reformulation de la question de Zariski sur la multiplicité et une réponse partielle positive à celle-ci. Pour citer cet article : C. Eyral, E. Gasparim, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).