Joint continuity of the local times of linear fractional stable sheets

Linear fractional stable sheets (LFSS) are a class of random fields containing the class of fractional Brownian sheets (FBS) by allowing, in the linear fractional representation of the FBS, the random measure to be α-stable with α∈(0,2]. In this Note, we extend some properties of the local time shown in the Gaussian case to the symmetric α-stable case. For any N⩾1, an (N,1)-LFSS is a real valued random field defined on . When N=1, the process is called linear fractional stable motion (LFSM). For N⩾1, an (N,1)-LFSS is mainly parameterized by a multidimensional index H=(H1,…,HN)∈N(0,1). Let N,d⩾1 be fixed, we consider a random field defined on and taking its values in Rd, an (N,d)-LFSS, whose components are d independent copies of the same (N,1)-LFSS. We show that, if , then the (N,d)-LFSS with index H has a local time. Moreover, when the sample path of the LFSS is continuous, that is, for α<2, when H1,…,HN>1/α, we show that the local time is jointly continuous. To cite this article: A. Ayache et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

RésuméLe drap linéaire fractionnaire stable (LFSS) est un champ aléatoire qui généralise le drap brownien fractionnaire en remplaçant la mesure gaussienne dans sa représentation linéaire fractionnaire par une mesure α-stable, α∈(0,2]. Dans cette Note nous étendons certaines propriétés du temps local montrées pour le cas gaussien au cas symétrique α-stable. Le (N,1)-LFSS, N⩾1, est défini sur et prend ses valeurs dans R, le cas N=1 correspondant au mouvement linéaire fractionnaire stable (LFSM). Ce champ est principalement paramétré par H=(H1,…,HN)∈N(0,1). Nous considérons un champ aléatoire à valeurs dans Rd, le (N,d)-LFSS, N,d⩾1, défini en prenant d copies indépendantes d'un (N,1)-LFSS. Nous montrons que, si , alors le (N,d)-LFSS de paramètre H admet un temps local. De plus, dans le cas où ses trajectoires sont continues, i.e., pour α<2, quand les paramètres vérifient H1,…,HN>1/α, nous établissons la bicontinuité de ce temps local. Pour citer cet article : A. Ayache et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).