Exterior powers of the reflection representation in the cohomology of Springer fibres

Let H⁎(Be) be the cohomology of the Springer fibre for the nilpotent element e in a simple Lie algebra g. Let ΛiV denote the ith exterior power of the reflection representation of W. We determine the degrees in which ΛiV occurs in the graded representation H⁎(Be), under the assumption that e is regular in a Levi subalgebra and satisfies a certain extra condition which holds automatically if g is of type A, B, or C. This partially verifies a conjecture of Lehrer and Shoji.

RésuméSoit H⁎(Be) la cohomologie de la fibre de Springer pour l'élément nilpotent e de l'algèbre de Lie simple g. Soit ΛiV la i-ème puissance extérieure de la représentation géométrique de W. Nous trouvons les degrés des contributions de ΛiV à la représentation graduée H⁎(Be), si e est régulier dans une sous-algèbre de Levi et satisfait à une autre condition qui est vraie si g est de type A, B, ou C. Ce résultat démontre partiellement une conjecture de Lehrer et Shoji.