Local existence of classical solutions for the Einstein–Euler system using weighted Sobolev spaces of fractional order

We prove the existence of a class of local in time solutions, including static solutions, of the Einstein–Euler system. This result is the relativistic generalisation of a similar result for the Euler–Poisson system obtained by Gamblin (1993). As in his case the initial data of the density do not have compact support but fall off at infinity in an appropriate manner. An essential tool in our approach is the construction and use of weighted Sobolev spaces of fractional order. Moreover, these new spaces allow us to improve the regularity conditions for the solutions of evolution equations. The details of this construction, the properties of these spaces and results on elliptic and hyperbolic equations will be presented in a forthcoming article. To cite this article: U. Brauer, L. Karp, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméNous prouvons l'existence d'une classe de solutions locales en temps, incluant des solutions statiques, du système d'Einstein–Euler. Notre résultat est la généralisation relativiste d'un résultat similaire pour le système d'Euler–Poisson obtenu par Gamblin (1993). Comme dans son cas, les données initiales de la densité ne sont pas à support compact mais décroissent à l'infini d'une façon appropriée. L'un des outils essentiels dans notre approche est la construction et l'usage des espaces de Sobolev à poids et d'ordre fractionnaire. De plus, ces nouveaux espaces nous permettent d'améliorer les conditions de régularité pour les solutions des équations d'évolution. Les détails de cette construction, les propriétés de ces espaces et quelques résultats sur des équations elliptiques et hyperboliques seront présentés dans un futur article. Pour citer cet article : U. Brauer, L. Karp, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).