Lp and W1,p regularity of the solution of a steady transport equation

We consider a steady transport system of equations in a bounded Lipschitz domain of Rd, 2⩽d⩽4, with a divergence-free transport velocity in H1, tangential on the boundary. By means of two regularizations, first with a viscous penalty term and next with a Yosida approximation, we prove that an Lp data, 2⩽p<∞, yields a solution in Lp. We apply this result to establish that for data in W1,p and transport velocity in W1,∞, sufficiently small, the solution of a scalar transport equation belongs to W1,p.

RésuméOn considère une équation de transport vectorielle stationnaire dans un domaine Lipschitz borné de Rd, 2⩽d⩽4, avec une vitesse de transport dans H1, à divergence nulle, tangentielle sur le bord. A l'aide de deux régularisations, d'abord avec un terme visqueux de pénalisation et ensuite avec une approximation de Yosida, on montre que si la donnée est dans Lp, 2⩽p<∞, alors la solution est dans Lp. On applique ce résultat pour démontrer que si la donnée d'une équation de transport scalaire est dans W1,p et la vitesse de transport est dans W1,∞, assez petite, alors la solution est dans W1,p.