Invariant measures and stiffness for non-Abelian groups of toral automorphisms ⁎

Let Γ be a non-elementary subgroup of SL2(Z). If μ is a probability measure on T2 which is Γ-invariant, then μ is a convex combination of the Haar measure and an atomic probability measure supported by rational points. The same conclusion holds under the weaker assumption that μ is ν-stationary, i.e. , where ν is a finitely supported, probability measure on Γ whose support suppν generates Γ. The approach works more generally for Γ

RésuméSoit Γ un sous-groupe non-élementaire du groupe SL2(Z). Soit μ une mesure de probabilité Γ-invariante sur le tore T2. On démontre que μ est une moyenne de la mesure de Haar et une probabilité discrète portée par des points rationnels. La même conclusion reste vraie sous l'hypothèse que μ est ν-stationnaire, donc , où ν est une probabilité sur Γ à support fini et engendrant Γ. L'approche se généralise aux sous-groupes Γ de SLd(Z). Pour citer cet article : J. Bourgain et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).