Régularité d'opérateurs non bornés dans les modules de Hilbert

RésuméOn montre dans cette Note que la somme et le produit d'opérateurs réguliers, moyennant certaines conditions sur les domaines et images des opérateurs, est un opérateur régulier. Ceci nous permet de trouver un critère simple pour montrer, étant donné un opérateur non borné d dans un module de Hilbert, d'une part qu'il est régulier, d'autre part que la résolvante de la somme de l'opérateur d et de son adjoint d∗ est compacte. On applique enfin ce résultat pour associer un élément de K-théorie à l'opérateur de signature sur une variété lipschitzienne munie de l'action propre d'un groupe discret. Pour citer cet article : S. Damaville, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

In this Note, first we give conditions which permit the determination of the sum or the product of regular operators in C*-modules, and then we give a criteria on an unbounded operator d in a C*-module under which it is regular, the sum with his adjoint d+d∗ is regular and the resolvent of d+d∗ is compact. Finally, we apply these results to show that the signature operator on a Lipschitz manifold with proper group action, determines an element of K-theory of the C*-reduced algebra of the group. To cite this article: S. Damaville, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).