Lie algebras generated by 3-forms

Let U be a real vector space, B an inner product on U and T∈∧U* a 3-form. The 3-form T defines two natural maps, and given by [x,y]U=2B♯(T(x,y,⋅)) and σ(x)=T(x,⋅,⋅). We show that [⋅,⋅]U is a Lie bracket if and only if gT≡Im(σ) is a Lie subalgebra of so(U,B). To cite this article: R.P. Rohr, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméSoit U un espace vectoriel réel, B un produit euclidien sur U et T∈∧U* une 3-forme. La 3-forme T permet de définir deux applications, et telles que [x,y]U=2B♯(T(x,y,⋅)) et σ(x)=T(x,⋅,⋅). On va démontrer que [⋅,⋅]U est un crochet de Lie si et seulement si gT≡Im(σ) est une sous-algèbre de Lie de so(U,B). Pour citer cet article : R.P. Rohr, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).