On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem

In this Note, we shall consider the heat equation with a singular initial condition , z∈C∖2πiZ. The aim is to establish relations among three sums of a divergent formal solution to this Cauchy problem: Borel-sum based on known results in Lutz et al. (1999) [4], and two q-Borel sums obtained by means of Heat Kernel and Theta function respectively in Zhang (1999) [8], and in Ramis and Zhang (2002) [7], , Zhang (2002) [9]. It is shown that the Borel-sum is equal to q-Borel sum given by the integral expression with Heat Kernel and that the relation between two q-Borel sums gives rise to a natural generalization of Mordell's Theorem.

RésuméDans cette Note, nous considérons l'équation de la chaleur avec une condition initiale singulière , z∈C∖2πiZ. Le but est d'établir des relations entre trois sommes d'une solution formelle divergente de ce problème de Cauchy : la somme de Borel basée sur des résultats de Lutz et al. (1999) [4], et deux sommes de Borel q-analogues obtenues respectivement au moyen du noyau de la chaleur (Zhang, 1999) [8] et la fonction Theta (Ramis and Zhang, 2002 ; Zhang, 2002) [7,9]. Nous montrons que la somme de Borel est égale à la somme q-Borel donnée par le noyau de la chaleur et que la relation entre les deux sommes q-Borel donne lieu à une généralisation naturelle d'un théorème de Mordell.