On nonlinear diffusion problems with strong degeneracy

In this Note, we study the ‘triply’ degenerate problem: b(v)t−Δg(v)+divΦ(v)=f on Q:=(0,T)×Ω, b(v(0,⋅))=b(v0) on Ω and g(v)=g(a) ‘on some part of the boundary’ (0,T)×∂Ω, in the case of continuous nonhomogenous and nonstationary boundary data a. The functions b,g are assumed to be continuous nondecreasing and to verify the normalisation condition b(0)=g(0)=0 and the range condition R(b+g)=R. Using monotonicity and penalization methods, we prove existence of a weak entropy solution in the spirit of F. Otto (1996). To cite this article: K. Ammar, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméDans cette Note, on étudie le problème triplement dégénéré : b(v)t−Δg(v)+divΦ(v)=f sur Q:=(0,T)×Ω, b(v(0,⋅))=b(v0) dans Ω et g(v)=g(a) « sur une partie de la frontière » (0,T)×∂Ω, dans le cas d'une donnée a continue non homogène et non stationnaire sur le bord. Les fonctions b,g sont supposées être continues croissantes, vérifiant la condition de normalisation : b(0)=g(0)=0 et de surjectivité R(b+g)=R. En utilisant des méthodes de monotonie et de pénalisation, on prouve l'existence d'une solution entropique au sens de F. Otto (1996). Pour citer cet article : K. Ammar, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).