Two remarks on liftings of maps with values into S1

Given a map with some regularity: |u|X=R<∞, we consider the problem of finding a lifting φ of u (i.e. a measurable function satisfying u=eiφ) with the same regularity and with an optimal control |φ|X⩽g(R). Two cases are treated here:(i) |⋅|X is a Ws,p(0,1)-seminorm, with 01. We find a lifting φ such that |φ|Ws,p(I)⩽C(R+R1/s) and we show that the exponent 1/s cannot be improved.(ii) |⋅|X is the BV(Ω)-seminorm where Ω⊂Rd is a smooth open set. We give a simplified proof of a previous result [J. Dàvila, R. Ignat, Lifting of BV functions with values in S1, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (3) (2003) 159–164]: there exists φ∈BV(Ω) satisfying |φ|BV⩽2R. To cite this article: B. Merlet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméÉtant donnée une application ayant une certaine régularité : |u|X=R<∞, nous cherchons un relèvement φ de u (i.e. une fonction mesurable telle que u=eiφ) ayant la même régularité et avec le meilleur contrôle possible de |φ|X en fonction de R. On traite deux cas :(i) |⋅|X est une seminorme Ws,p(0,1), avec 01. Nous trouvons un relèvement φ satisfaisant |φ|Ws,p(I)⩽C(R+R1/s) et nous montrons que l'exposant 1/s ne peut être amélioré.(ii) |⋅|X est la seminorme BV(Ω) où Ω⊂Rd est un ouvert régulier. Nous donnons une preuve simplifiée d'un résultat préexistant [J. Dàvila, R. Ignat, Lifting of BV functions with values in S1, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (3) (2003) 159–164] : il existe φ∈BV(Ω) telle que |φ|BV⩽2R. Pour citer cet article : B. Merlet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).