Generalized differentiation and bi-Lipschitz nonembedding in L1⁎

We consider Lipschitz mappings, , where X is a doubling metric measure space which satisfies a Poincaré inequality, and V is a Banach space. We show that earlier differentiability and bi-Lipschitz nonembedding results for maps, , remain valid when RN is replaced by any separable dual space. We exhibit spaces which bi-Lipschitz embed in L1, but not in any separable dual V. For certain domains, including the Heisenberg group with its Carnot–Caratheodory metric, we establish a new notion of differentiability for maps into L1. This implies that the Heisenberg group does not bi-Lipschitz embed in L1, thereby proving a conjecture of J. Lee and A. Naor. When combined with their work, this has implications for theoretical computer science. To cite this article: J. Cheeger, B. Kleiner, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméNous considérons des applications lipchitziennes, , où X est un espace métrique mesuré tel que l'on contrôle le volume des boules par doublement du rayon et qui satisfait à une inégalité de Poincaré, et où V est un espace de Banach. On montre que des résultats antérieurs de différentiabilité et de non plongement bilipschitzien pour des applications , restent valables quand on suppose que V est un dual séparable. Nous donnons des exemples d'espaces plongés de manière bilipschitzienne dans L1, mais qui ne sont plongeables dans aucun dual séparable. Pour certains espaces, dont le groupe d'Heisenberg muni de la métrique de Carnot–Caratheodory, on établit une nouvelle notion de différentiabilité pour des applications dans L1. Ceci implique que le groupe de Heisenberg ne possède aucun plongement bilipschitzien dans L1, un résultat conjecturé par J. Lee et A. Naor. Quand il est combiné avec des résultats de ces deux auteurs, notre travail a des applications en informatique théorique. Pour citer cet article : J. Cheeger, B. Kleiner, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).