Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien

RésuméNous considérons un processus Gaussien réel, X, de régularité inconnue r0∈N au sens où la dérivée d'ordre r0 en moyenne quadratique, notée X(r0), est supposée hölderienne. Dans un premier temps, à partir des observations discrétisées X(t1),…,X(tn), on étudie la reconstruction de X(t), t∈[0,1], par où est un polynôme d'interpolation par morceaux, de degré r⩾1. On montre que l'erreur quadratique d'interpolation décroît quand r augmente mais qu'elle se stabilise dès que r dépasse r0. On construit ainsi un estimateur du paramètre r0 grâce à un critère empirique basé sur cette erreur d'interpolation. On établit la convergence presque sûre de vers r0 via une inégalité exponentielle pour . Finalement, on montre que converge presque sûrement vers X(t) avec une vitesse comparable au cas où r0 est connu. Pour citer cet article : D. Blanke, C. Vial, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

We consider a real Gaussian process X with unknown smoothness r0∈N where the mean-square derivative X(r0) is supposed to be Hölder continuous in quadratic mean. First, from the discrete observations X(t1),…,X(tn), we study reconstruction of X(t), t∈[0,1], with , a piecewise polynomial interpolation of degree r⩾1. We show that the mean-square error of interpolation is a decreasing function of r but becomes stable as soon as r⩾r0. Next, from an interpolation-based empirical criterion, we derive an estimator of r0 and prove its strong consistency by giving an exponential inequality for . Finally, we prove the strong convergence of toward X(t) with a similar rate as in the case ‘r0 known’. To cite this article: D. Blanke, C. Vial, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).