Quasi-frames of translates

We construct uniformly discrete, and even sparse, sequences of translates {g(t−λ)}{g(t−λ)} of a single function which have the following frame-type approximation property: for every q>2q>2 there exists C(q)C(q) such that every function f∈L2(R)f∈L2(R) can be approximated with arbitrary small L2L2-error by a linear combination ∑cλg(t−λ)∑cλg(t−λ) satisfying the lqlq-estimate of the coefficients:‖{cλ}‖lq⩽C(q)‖f‖.‖{cλ}‖lq⩽C(q)‖f‖. This cannot be done for q=2q=2, according to a result of Christensen, Deng and Heil. To cite this article: S. Nitzan, A. Olevskii, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméNous construisons une suite réelle Λ   uniformément discrète (de pas >0) et même lacunaire, et une fonction g∈L2(R)g∈L2(R), telles que le système des translatées {g(t−λ)}(λ∈Λ){g(t−λ)}(λ∈Λ) soit un “quasi-frame  ” au sens suivant : pour tout q>2q>2 il existe C(q)>0C(q)>0 tel que toute fonction f∈L2(R)f∈L2(R) est approchable dans L2(R)L2(R) par des combinaisons linéaires ∑cλg(t−λ)∑cλg(t−λ) vérifiant (∑q|cλ|)1/q⩽C(q)‖f‖(∑|cλ|q)1/q⩽C(q)‖f‖. Cela est impossible quand q=2q=2, selon un résultat de Christensen, Deng et Heil. Pour citer cet article : S. Nitzan, A. Olevskii, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).