Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque

RésuméÉtant donné un ensemble fini σ du disque unité et une fonction f holomorphe dans D appartenant à une certaine classe X, on cherche g dans une autre classe Y (plus petite que X) qui minimise la norme de g dans Y parmi toutes les fonctions g satisfaisant la condition g|σ=f|σ. On montre que dans le cas Y=H∞, la constante d'interpolation correspondante c(σ,X,H∞) est majorée par où n=#σ, r=maxλ∈σ|λ| et φX(t) est la norme de la fonctionnelle d'évaluation f↦f(λ), sur l'espace X. La majoration est exacte sur l'ensemble des σ avec n et r donné. Pour citer cet article : R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Given a finite set σ of the unit disc and a holomorphic function f in D which belongs to a class X, we are looking for a function g in another class Y (smaller than X) which minimizes the norm ‖g‖Y among all functions g such that g|σ=f|σ. For Y=H∞, and for the corresponding interpolation constant c(σ,X,H∞), we show that where n=#σ, r=maxλ∈σ|λ| and where φX(t) stands for the norm of the evaluation functional f↦f(λ) on the space X. The upper bound is sharp over sets σ with given n and r. To cite this article: R. Zarouf, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).