W1,NW1,N versus C1C1 local minimizers for elliptic functionals with critical growth in RNRN

Let Ω⊂RNΩ⊂RN be a bounded smooth domain, f:Ω×R→Rf:Ω×R→R be a Caratheodory function with sf(x,s)⩾0∀(x,s)∈Ω×R and supx∈Ω|f(x,s)|⩽C(1+|s|)pe|s|N(N−1),∀s∈R, for some C>0C>0. Consider the functional J   : W1,N(Ω)→RW1,N(Ω)→R, Ω defined asJ(u)=def1N‖u‖W1,N(Ω)N−∫ΩF(x,u)−1q+1‖u‖Lq+1(∂Ω)q+1, where F(x,u)=∫0uf(x,s)ds and q>0q>0. We show that if u0∈C1(Ω¯) is a local minimum of J   in the C1(Ω¯) topology, then it is also a local minimum of J   in W1,N(Ω)W1,N(Ω) topology. To cite this article: J. Giacomoni et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSoit Ω   un ouvert borné régulier de RNRN, f:Ω×R→Rf:Ω×R→R une fonction de Caratheodory vérifiant sf(x,s)⩾0∀(x,s)∈Ω×R et supx∈Ω|f(x,s)|⩽C(1+|s|p)e|s|N(N−1), ∀s∈R∀s∈R et pour une constante C>0C>0. Considérons la fonctionnelle J:W1,N(Ω)→RJ:W1,N(Ω)→R, définie parJ(u)=def1N‖u‖W1,N(Ω)N−∫ΩF(x,u)−1q+1‖u‖Lq+1(∂Ω)q+1 avec F(x,u)=∫0usf(x,s)ds et q>0q>0. Nous démontrons que si u0∈C1(Ω¯) est un minimiseur local de J   dans C1(Ω¯), alors il est aussi un minimiseur local de J   dans W1,N(Ω)W1,N(Ω). Pour citer cet article : J. Giacomoni et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).