The A-module structure induced by a Drinfeld A-module of rank 2 over a finite field

Let Fq be a finite field and let L/Fq be a finite extension. Let F be the Frobenius of L () and let (P) be the F[T]-characteristic of F. Let m be the degree of the extension L/Fq[T]/(P). There exists then c∈Fq[T] and μ∈Fq such that the characteristic polynomial PF of F is equal to PF(X)=X2−cX+μPm. Our main result is an analogue of Deuring's Theorem on elliptic curves: let , where i1 and i2 are two polynomials of Fq[T] such that i2|i1 and i2|(c−2), there exists an ordinary Drinfeld Fq[T]-module Φ of rank 2 over L such that the structure of the finite Fq[T]-module LΦ induced by Φ over L is isomorphic to M. To cite this article: M.-S. Mohamed-Ahmed, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméSoit Fq un corps fini et L/Fq une extension finie. Soit F le Frobenius de L () et (P) la F[T]-caractéristique de F. Soit m le degré de l'extension L/Fq[T]/(P). Il existe alors c∈Fq[T] et μ∈Fq tels que le polynôme caractéristique PF de F soit égal à PF(X)=X2−cX+μPm. Notre résultat principal est un parfait analogue du théorème de Deuring pour les courbes elliptiques : soit , où i1 et sont deux polynômes de Fq[T] tels que et i2|(c−2). Il existe alors un Fq[T]-module de Drinfeld Φ ordinaire de rang 2 sur L tel que la structure du Fq[T]-module fini LΦ induite par Φ sur L soit isomorphe à M. Pour citer cet article : M.-S. Mohamed-Ahmed, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).