Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux

Soient K un corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel parfait k, O son anneau d'entiers, G un K-groupe réductif connexe. Bruhat et Tits ont défini la composante résiduellement neutre G00 de G et calculé le H1(K,G00). Le but de cette Note est de calculer la 2-cohomologie galoisienne de G00. Nous complétons ainsi nos résultats où l'étude était faite dans le cas particulier où était supposé simplement connexe et k de dimension cohomologique ⩽1. Nous montrons comment toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans G00 se réduit à une classe à valeurs dans un k-tore maximal de la fibre spéciale d'un O-modèle de G. On en déduit, en particulier, que si G est un K-groupe réductif connexe et si cd⋅(k)⩽1, alors toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans la composante résiduellement neutre de G est neutre. Pour citer cet article : J.-C. Douai, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

Let K be a complete discrete valuation field, k its residue field, O its ring of integers, and G a connected reductive K-group. Bruhat and Tits have defined the residually neutral component G00 of G and have calculated H1(K,G00). The aim of this Note is to calculate the Galois 2-cohomology of G00. We extend our results where the case simply connected and k of cohomological dimension ⩽1 is treated. We show that each class of Galois 2-cohomology in G00 reduces to a class into a maximal k-torus of the special fiber of an O-model of G. We deduce, in particular, that, if G is a connected reductive K-group and if cd⋅(k)⩽1, then each class of Galois 2-cohomology into the residually neutral component is neutral. To cite this article: J.-C. Douai, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).