Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications

RésuméNous généralisons dans Cn le théorème de Hilbert sur les Lemniscates. Plus précisemment, tout compact K polynomialement convexe dans Cn est approchable par des polyhèdres polynomiaux spéciaux P définis par des applications polynomiales propres de Cn dans Cn ayant « presque » tous leurs zéros dans P. Dans le cas particulier où K est disqué, on peut trouver une application polynomiale « presque » homogène avec un zéro en l'origine de multiplicité « presque » égale au degré. Une première conséquence de cette généralisation est une version précise du théorème de Runge dans Cn. Une seconde application est l'approximation uniforme dans Cn, de la fonction de Green pluricomplexe avec pôle à l'infini associée à un compact -régulier, par des fonctions maximales de L+ à pôles logarithmiques isolés. Pour citer cet article : S. Nivoche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

We generalize in Cn Hilbert Lemniscate Theorem. More precisely, any polynomially convex compact subset K in Cn can be approximated externally by special polynomial polyhedra P defined by proper polynomial mappings from Cn to Cn with ‘almost’ all their zeros in P. In the particular case where K is balanced, we can choose the polynomial mapping ‘almost’ homogeneous with a zero at the origin of multiplicity ‘almost’ equal to the degree. A first consequence of this generalization is a precise version of Runge's theorem in Cn. A second application is an uniform approximation in Cn, of the pluricomplex Green function with pole at infinity for a L-regular compact set K, by maximal plurisubharmonic functions in L+ with isolated logarithmic poles. To cite this article: S. Nivoche, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).