On Saint Venant's compatibility conditions and Poincaré's lemma

Saint Venant's theorem constitutes a classical characterization of smooth matrix fields as linearized strain tensor fields. This theorem has been extended to matrix fields with components in L2 by the second author and P. Ciarlet, Jr. in 2005. One objective of this Note is to further extend this characterization to matrix fields whose components are only in H−1. Another objective is to demonstrate that Saint Venant's theorem is in fact nothing but the matrix analog of Poincaré's lemma. To cite this article: C. Amrouche et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméLe théorème de Saint Venant constitue une caractérisation classique de champs de matrices réguliers comme des champs de tenseurs de déformation linéarisés. Ce théorème a été étendu aux champs de matrices avec des composantes dans L2 par le second auteur et P. Ciarlet, Jr. en 2005. Un objectif de cette Note est d'étendre cette caractérisation aux champs de matrices dont les composantes sont seulement dans H−1. Un autre objectif est de démontrer que le théorème de Saint Venant n'est autre que l'analogue matriciel du lemme de Poincaré. Pour citer cet article : C. Amrouche et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).