A curvature-dimension condition for metric measure spaces

We present a curvature-dimension condition CD(K,N) for metric measure spaces (M,d,m). In some sense, it will be the geometric counterpart to the Bakry–Émery [D. Bakry, M. Émery, Diffusions hypercontractives, in: Séminaire de Probabilités XIX, in: Lecture Notes in Math., vol. 1123, Springer, Berlin, 1985, pp. 177–206. [1]] condition for Dirichlet forms. For Riemannian manifolds, it holds if and only if dim(M)⩽N and RicM(ξ,ξ)⩾K⋅2|ξ| for all ξ∈TM. The curvature bound introduced in [J. Lott, C. Villani, Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport, Annals of Math., in press. [4]; K.T. Sturm, Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 235–238. [6]; K.T. Sturm, On the geometry of metric measure spaces. I, Acta Math., in press. [7]] is the limit case CD(K,∞).Our curvature-dimension condition is stable under convergence. Furthermore, it entails various geometric consequences e.g. the Bishop–Gromov theorem and the Bonnet–Myers theorem. In both cases, we obtain the sharp estimates known from the Riemannian case. To cite this article: K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméNous présentons une condition de type courbure-dimension CD(K,N) pour des espaces métriques mesurés (M,d,m), qui peut être considérée comme une contrepartie géométrique de celle de Bakry–Émery [D. Bakry, M. Émery, Diffusions hypercontractives, in: Séminaire de Probabilités XIX, in: Lecture Notes in Math., vol. 1123, Springer, Berlin, 1985, pp. 177–206. [1]] pour les formes de Dirichlet. Pour les variétés riemanniennes, elle est satisfaite si et seulement si dim(M)⩽N et RicM(ξ,ξ)⩾K⋅2|ξ| pour tout ξ∈TM. La borne de la courbure [J. Lott, C. Villani, Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport, Annals of Math., in press. [4] ; K.T. Sturm, Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005) 235–238. [6] ; K.T. Sturm, On the geometry of metric measure spaces. I, Acta Math., in press. [7]] est le cas limite CD(K,∞).Notre condition est stable pour la convergence. Elle comporte des conséquences géométriques diverses, comme les théorèmes de Bishop–Gromov et de Bonnet–Myers. Dans les deux cas, on obtient des estimations optimales connues dans le cas riemannien. Pour citer cet article : K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).