The theory of De Giorgi for non-local operators

Sous des conditions générales pour k:Rd×Rd→[0,∞), nous étudions les opérateurs intégro-différentiels L de type (1). Nos conditions pour k impliquent qu'il existe un α∈(0,2) tel que k(x,y)|x−y|d+α reste borné pour de petits |x−y|. Soit Ω⊂Rd un ouvert borné. Soit DΩ(E)=L∞(Rd)∩Hlocα/2(Ω). Une fonction u∈DΩ(E) est nommée L-harmonique en Ω si pour tout ϕ∈C0∞(Ω) E(u,ϕ)=0. Le but de cette Note est de trouver des bornes locales pour des fonctions L-harmoniques. Les principaux resultats démontrent que des fonctions u∈DB(E) qui sont L-harmoniques dans la boule B satisfont des estimations a priori dans Cβ(B′¯) pour un β>0 et pour tout B′⋐B. Les résultats de ce travail peuvent être regardés comme une généralisation de la théorie dite De Giorgi-Nash-Moser aux opérateurs integro-differentiels d'ordre α∈(0,2). Pour citer cet article : M. Kassmann, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).