p-adic affine dynamical systems and applications

We consider p-adic affine dynamical systems on the ring Zp of all p-adic integers, and we find a necessary and sufficient condition for such a system to be minimal. The minimality is equivalent to the transitivity, the ergodicity of the Haar measure, the unique ergodicity, and the strict ergodicity. When the condition is not satisfied, we prove that the system can be decomposed into strict ergodic subsystems. One of our applications is the study of the divisibility, by a power of prime number, of the sequence of integers an−b with positive integers a,b and n. To cite this article: A.-H. Fan et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméNous considérons les systèmes dynamiques affines p-adiques sur l'anneau Zp des entiers p-adiques. Nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel système soit minimal. La minimalité est équivalente à la transitivité, à l'ergodicité de la mesure de Haar, à l'unique ergodicité, et à la stricte ergodicité. Quand la condition n'est pas satisfaite, nous donnons tous les sous-systèmes strictement ergodiques du système affine p-adique en question. L'une de nos applications est l'étude de la divisibilité, par une puissance d'un nombre premier, de la suite des entiers de la forme an−b (a,b et n étant des entiers positifs). Pour citer cet article : A.-H. Fan et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).