Sieving and expanders⁎

Let V be an orbit in Zn of a finitely generated subgroup Λ of GLn(Z) whose Zariski closure Zcl(Λ) is suitably large (e.g. isomorphic to SL2). We develop a Brun combinatorial sieve for estimating the number of points on V for which a fixed set of integral polynomials take prime or almost prime values. A crucial role is played by the expansion property of the ‘congruence graphs’ that we associate with V. This expansion property is established when Zcl(Λ)=SL2. To cite this article: J. Bourgain et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméSoit V l'orbite dans Zn d'un sous-groupe finiment engendré de GLn(Z) don't l'adhérence dans la topologie de Zariski est suffisament grande (p.e. est isomorphe à SL2). Nous developpons une crible combinatoire de Brun a fin d'estimer le nombre de points de V pour lesquels un system de polynômes donnés prennent des valeurs premières ou presque premières. Des propriétés d'expansion de certain « graphes de congruence » y jouent un rôle crucial, qu'on établi dans le cas Zcl(Λ)=SL2. Pour citer cet article : J. Bourgain et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).