On the stability group of CR manifolds

For any essentially finite minimal real-analytic generic submanifold M⊂CN, N⩾2, we show that for every point p∈M the local real-analytic CR automorphisms of M fixing p can be parametrized real-analytically by their ℓ=ℓ(p) jets at p. As an application, we derive a Lie group structure for the stability group Aut(M,p). We also show that the order ℓ=ℓ(p) of the jet space in which the group Aut(M,p) embeds can be chosen to depend upper-semicontinuously on p. This yields that given any compact real-analytic minimal CR submanifold M in CN, there exists an integer k depending only on M such that for every point p∈M local CR diffeomorphisms mapping a neighbourhood of p in M into another real-analytic CR submanifold in CN with the same CR dimension as that of M are uniquely determined by their k-jet at p. To cite this article: B. Lamel, N. Mir, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

RésuméPour toute sous-variété analytique réelle générique essentiellement finie et minimale M⊂CN, N⩾2, nous montrons que pour tout point p∈M, les automorphismes CR locaux analytiques réels de M fixant p sont paramétrés analytiquement par leur ℓ=ℓ(p)-jets en p. Comme application, nous obtenons une structure de groupe de Lie sur le groupe d'isotropie Aut(M,p). Nous montrons aussi que l'ordre ℓ=ℓ(p) de l'espace des jets dans lequel le groupe Aut(M,p) se plonge peut être choisi de façon à ce que l'application p↦ℓ(p) soit semi-continue supérieurement. En corollaire, nous obtenons qu'étant donnée toute sous-variété CR compacte analytique réelle et minimale M⊂CN, il existe un entier positif k, dépendant uniquement de M, tel que pour tout point p∈M les difféomorphismes CR locaux envoyant un voisinage de p dans M sur toute autre sous-variété CR de CN de même dimension CR que celle de M sont uniquement déterminés par leur k-jet en p. Pour citer cet article : B. Lamel, N. Mir, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).