The Birkhoff decomposition in groups of formal diffeomorphisms

Let G∞ be the group of one parameter identity-tangent diffeomorphisms on the line whose coefficients are formal Laurent series in the parameter ε with a pole of finite order at 0. It is well-known that the Birkhoff decomposition can be defined in such a group. We investigate the stability of the Birkhoff decomposition in subgroups of G∞ and give a formula for this decomposition. As proven by A. Connes and D. Kreimer, the Birkhoff decomposition is related to renormalization in quantum field theory and we give an application of our results in the last section. To cite this article: F. Menous, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméSoit G∞ le groupe des difféomorphismes formels en une variable, à un paramètre, tangents à l'identité, dont les coefficients sont des séries de Laurent formelles en le paramètre ε ayant un pôle d'ordre fini en 0. On peut définir la décomposition de Birkhoff dans un tel groupe. Nous étudions la stabilité par décomposition de Birkhoff de certains sous-groupes de G∞ et donnons une formule pour cette décomposition. D'après les résultats de A. Connes et D. Kreimer, la décomposition de Birkhoff est liée à la théorie de la renormalisation et nous donnons une application de nos résultats dans la dernière section. Pour citer cet article : F. Menous, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).