Critical space for the parabolic-parabolic Keller–Segel model in Rd

We study the Keller–Segel system in Rd when the chemoattractant concentration is described by a parabolic equation. We prove that the critical space, with some similarity to the elliptic case, is that the initial bacteria density satisfies n0∈La(Rd), a>d/2, and that the chemoattractant concentration satisfies ∇c0∈Ld(Rd). In these spaces, we prove that small initial data give rise to global solutions that vanish as the heat equation for large times and that exhibit a regularizing effect of hypercontractivity type. To cite this article: L. Corrias, B. Perthame, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméNous considérons le système de Keller–Segel posé sur Rd dans le cas d'une équation parabolique sur le chemoattractant. Nous démontrons que l'espace critique, comme dans le cas elliptique, est que la densité bactérienne initiale vérifie n0∈La(Rd), a>d/2, et que la concentration initiale de chémoattractant vérifie ∇c0∈Ld(Rd). Dans ces espaces, une donnée initiale petite donne des solutions globales qui tendent vers 0 en temps grand comme l'équation de la chaleur ainsi que des effets régularisants de type hypercontractifs. Pour citer cet article : L. Corrias, B. Perthame, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).