On a nonlinear Schrödinger equation with a localizing effect

We consider the nonlinear Schrödinger equation associated to a singular potential of the form a|u|−(1−m)u+bu, for some m∈(0,1), on a possible unbounded domain. We use some suitable energy methods to prove that if Re(a)+Im(a)>0 and if the initial and right hand side data have compact support then any possible solution must also have a compact support for any t>0. This property contrasts with the behavior of solutions associated to regular potentials (m⩾1). Related results are proved also for the associated stationary problem and for self-similar solution on the whole space and potential a|u|−(1−m)u. The existence of solutions is obtained by some compactness methods under additional conditions. To cite this article: P. Bégout, J.I. Díaz, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

RésuméNous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire associée à un potentiel singulier de la forme a|u|−(1−m)u+bu, avec m∈(0,1), sur un domaine éventuellement non borné. Nous employons des méthodes d'énergie appropriées pour montrer que si Re(a)+Im(a)>0 et si les données (initiale et source) ont un support compact alors toute solution doit également avoir un support compact pour tout t>0. Cette propriété contraste avec le comportement des solutions associées aux potentiels réguliers (m⩾1). Des résultats similaires sont également établis pour le problème stationnaire associé et pour les solutions auto-similaires sur l'espace entier et le potentiel a|u|−(1−m)u. L'existence des solutions est obtenue par des méthodes de compacité sous certaines conditions. Pour citer cet article : P. Bégout, J.I. Díaz, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).