Scaling limit of isoradial dimer models and the case of triangular quadri-tilings

We consider dimer models on planar graphs which are bipartite, periodic and satisfy a geometric condition called isoradiality, defined in [R. Kenyon, The Laplacian and Dirac operators on critical planar graphs, Invent. Math. 150 (2) (2002) 409–439]. We show that the scaling limit of the height function of any such dimer model is a Gaussian free field. Triangular quadri-tilings were introduced in [B. de Tilière, Quadri-tilings of the plane, math.PR/0403324, Probab. Theory Related Fields, in press]; they are dimer models on a family of isoradial graphs arising from rhombus tilings. By means of two height functions, they can be interpreted as random interfaces in dimension 2+2. We show that the scaling limit of each of the two height functions is a Gaussian free field, and that the two Gaussian free fields are independent.

RésuméOn considère le modèle de dimères sur des graphes planaires, bipartis, périodiques et satisfaisant une condition géométrique appelée isoradialité, définie dans [R. Kenyon, The Laplacian and Dirac operators on critical planar graphs, Invent. Math. 150 (2) (2002) 409–439]. Nous montrons que la limite d'échelle de la fonction de hauteur d'un tel modèle est décrite par un champ libre gaussien. Les quadri-pavages triangulaires ont été introduits dans [B. de Tilière, Quadri-tilings of the plane, math.PR/0403324, Probab. Theory Related Fields, in press] ; ils constituent une famille de modèles de dimères sur des graphes engendrés par des pavages par losanges. Grâce à deux fonctions de hauteur, ils sont interprétés comme des interfaces discrètes en dimension 2+2. Nous montrons que la limite d'échelle de chacune des fonctions de hauteur est décrite par un champ libre gaussien, et que ces deux champs libres sont indépendants.